欢迎来到轻轻家教！
含字母的绝对值不能见到竖线就直接去掉。绝对值表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，因此结果非负；要把它写成不含绝对值的式子，必须先判断竖线里面的数是正、零还是负。本文在实数范围用原创数轴例题说明，不把猜出的某一个数值当成对所有字母都成立的证明。
在标准数轴上，三和负三分别位于原点两侧，离原点都是三个单位长度，所以三的绝对值与负三的绝对值都等于三。负号表示方向，距离不带方向。零到原点的距离为零，因此绝对值最小可以是零，并不是一定大于零。
若字母甲表示实数，甲非负时，甲的绝对值等于甲；甲为负时，甲的绝对值等于负甲。这里“负甲”不一定是负数，例如甲等于负五，负甲就是五。不能只看式子前面有一个负号，就断言结果为负。
用符号写成：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=−a。两个条件覆盖全部实数且没有遗漏，零归入第一种只是为了让分段写法简洁。若把零归入另一段，也必须确认表达式在边界取值正确。
考虑|x−2|。要分情况的是x−2的符号，分界点来自x−2=0，即x=2。如果x≥2，则|x−2|=x−2；如果x<2，则|x−2|=2−x。不能只按x大于零或小于零来分，因为x等于一时仍有x−2为负。
代入三个数检查：x为四时，内部为二，结果二；x为一时，内部为负一，结果一；x为二时，结果零。这三个数分别检查了分界点右侧、左侧和边界，但有限个数只能帮助发现错误，完整写法仍需要前面的符号条件。
绝对值前若另有减号，也要保留。例如−|x−2|在x<2时等于−(2−x)，展开为x−2。先去绝对值再处理外部负号，两步写开，能避免连续两个符号在心算中混淆。
求|x−2|+|x+1|的分段表达式，先找内部为零的位置二和负一，再按从小到大排列。得到三个区间：x<−1，−1≤x<2，以及x≥2。不要把两个式子分别讨论后把结果随意拼接，那样很容易漏掉中间范围。
当x<−1时，两个内部都为负，原式=(2−x)+(−x−1)=1−2x。当−1≤x<2时，第一个内部为负，第二个非负，原式=(2−x)+(x+1)=3。当x≥2时，两者都非负，原式=(x−2)+(x+1)=2x−1。
在负一处，左边表达式给出三，中段也给出三；在二处，中段与右段都给出三。因此边界放在相邻任意一段都不影响数值，但每个实数必须有明确归属，不能把不等号全写成严格形式而漏掉边界。
|x−2|表示点x到二的距离，|x+1|表示点x到负一的距离。点x在负一与二之间时，两段距离刚好拼成整段长三，所以距离和恒为三。这不是计算中的巧合，而是数轴位置关系给出的结果。
点x跑到二右侧后，继续向右移动一个单位，到两个端点的距离各增加一个单位，距离和增加两个单位；跑到负一左侧时同理。因此这道题的最小值为三，而且在闭区间负一到二上的每个点都取到，不是只在两个端点取到。
距离图还提示一条检查：无论选哪个x，结果不应小于三。若化简后在中间区间算出二，应该回查去线时的符号，而不是怀疑数轴距离可以变小。
解|x−2|+|x+1|=5。左段有1−2x=5，得到x=−2，满足x<−1；中段恒为三，不能等于五；右段有2x−1=5，得到x=3，满足x≥2。所以解为负二和三。
两个结果还应代回原式：x为负二时，两段距离为四和一；x为三时，两段距离为一和四，都合计五。分段条件检查与代回原式检查各有作用，前者排除把某段公式用到范围外，后者核对计算和原有关系。
若把等号右边改成三，答案是一整个闭区间；改成二则无解。这个对照可以帮助理解为什么不是每个绝对值方程都恰好有两个解。解的数量由条件和位置决定，不能从一道例题概括成固定规律。
练习：已知−2
再检查x为零时，原式二减一等于一，与结果一致。若写成恒等于三，常见原因是把第二个绝对值错误去成x−1，或漏掉外部减号。订正应保留两个内部的符号和相应区间，而不是只把最后一行答案换掉。
再做一个需要识别隐含条件的练习：若|a−1|=a−1，可以推出a≥1，因为只有内部非负时绝对值才保持原式；不能把等式左右的相同部分约去而得到“所有实数”。若|a−1|=1−a，则对应a≤1，边界一在两种写法中都成立。将等式还原成符号条件，比在式子里任意消去字母更可靠。
需要注意，|a+b|通常不等于|a|+|b|。取a为三、b为负二，前者是一，后者是五。绝对值内先发生了有方向的相加，两个相反方向会抵消一部分；分别取距离再相加则失去了方向信息。因此化简含和式的绝对值，应先判断整个和的正负，不能把竖线像括号一样分配到每一项。这个反例也说明，一次顺手展开可能改变原有数量关系。
