轻轻家教

二次函数在闭区间上的最值，不能只写顶点值，也不能只比较两个端点。先确定开口方向和对称轴，再判断顶点是否在区间内，最后按单调变化或到对称轴的距离比较。本文讨论实系数、二次项系数非零且区间有限的情形，例题均为原创演算，不省略端点是否包含这一条件。

先把式子配成能看见顶点的形式

以f(x)=x²−4x+5为例，配方得到f(x)=(x−2)²+1，开口向上，对称轴为x=2，顶点为(2,1)。平方项非负，所以整个实数范围的最小值是一。但这只是函数在全部实数上的结论，限制到某个区间后还要检查二是否允许取到。

例如在区间[0,1]上，二不属于定义范围，因此不能写最小值为一。把顶点坐标背得再熟，也必须回到题目规定的自变量范围。符号中的方括号意味着端点包含在内，这是后续比较可以取到的依据。

配方时可反向展开检查：(x−2)²+1等于x²−4x+4+1，确实得到原式。若常数误配成负一，后面即便区间讨论完全正确，也会使所有函数值整体偏移。

区间完全在对称轴一侧时看单调性

在[0,1]上，自变量逐渐靠近二，平方项(x−2)²逐渐减小，函数随之减小。因此最大值在零处，为五；最小值在一处，为二。这里比较端点足够，是因为整个区间内没有经过顶点，函数在这段上保持同一变化方向。

在[3,5]上，自变量越来越远离二，函数递增，所以最小值为f(3)=2，最大值为f(5)=10。同样的开口方向，区间放在对称轴另一边，端点对应的最大最小角色就会互换。

不宜只背“左大右小”之类口令，因为开口向下时结论还会反过来。将区间在数轴上画出，再标对称轴，可以直接检查讨论的是靠近顶点还是远离顶点。

区间跨过顶点时最小与最大分开处理

在[1,4]上，二属于区间，最小值为顶点值一。最大值比较两端点：f(1)=2，f(4)=5，故最大值为五，在x=4时取到。不能因为顶点在区间内，就只写最小值而遗漏题目要求的最大值。

也可以比较到对称轴的距离。一到二相距一，四到二相距二，距离更大的端点平方项更大。因此对于开口向上的二次函数，在有限闭区间上最大值出现在离对称轴较远的端点；两端距离相等时，最大值在两个端点同时取到。

例如区间[0,4]两端都距二两个单位，最大值同为五，不能只报其中一个自变量。题目若问最值，写数值即可；若问何时取得最值，必须把所有符合条件的自变量写完整。

开口向下与开区间需要另外检查

若g(x)=−(x−2)²+1，在[1,4]内顶点给出最大值一，离对称轴较远的四给出最小值负三。图像上下翻转后，谁大谁小也要翻转，而对称轴位置并没有改变。

再看f(x)在开区间(0,1)上。函数仍递减，值可以无限接近二和五，却都不能取到，因此没有最大值，也没有最小值。可以说值域为(2,5)，但不能把上确界五和下确界二直接称为已取得的最值。

若区间写成(0,1]，二能够在一处取到，所以最小值为二，最大值仍不存在。端点取舍是题目条件的一部分，不能在列出端点值后自动把它们都作为答案。

含参数区间先找对称轴进入范围的边界

考虑同一个函数在[t,t+1]上的最小值。顶点位于区间左边，意味着t>2，这时区间在右侧，最小值为f(t)。顶点位于区间右边，意味着t+1<2，即t<1，这时最小值为f(t+1)。

当1≤t≤2时，二在区间内，最小值为一。于是三段表达可以写成：t<1时为(t−1)²+1，1≤t≤2时为一，t>2时为(t−2)²+1。在两个边界处相邻公式都给出一，说明没有出现数值跳跃。

这里分段的边界来自“区间端点经过对称轴”，不是随意按参数正负来划分。求最大值还需比较两个端点到二的距离，它的分界未必与最小值相同，不能拿这一组分段直接照搬。

独立练习用代回和位置双重核对

练习：求h(x)=x²+2x+3在[−3,0]上的最值。配方为(x+1)²+2，对称轴负一在区间内，最小值为二。两端值分别为六和三，因此最大值六在负三处取得。

再把区间改成[0,2]，全部位于对称轴右侧，函数递增，最小值三在零处，最大值十一在二处。两道题使用同一个函数却有不同答案，差别来自允许取值范围，不是配方方法改变。

订正时保留四项记录：配方结果、对称轴位置、顶点是否可取、候选点函数值。若漏掉其中一项，下次即使记住本题答案，也仍可能在换区间后重犯错误。

还可以用中点判断最大值落在哪一端。对区间[t,t+1]，中点是t加二分之一；当中点在对称轴二的左侧时，左端离二更远，最大值在左端；中点在右侧时，右端更远；中点恰好等于二时，两端同大。因此最大值的分界是t等于一点五，而最小值的分界是一和二。先明确比较目标，就能解释为什么两组参数边界不同。

若学生尚未学过含参数的完整讨论，可以先代入零、一点五和三画出三个具体区间，再观察顶点与端点的位置。图形只负责帮助提出分类，正式结论仍需用不等式说明范围。不要用三个代入值代替全部参数情况，也不要因为图画得不精确，就改变已经由计算确定的端点大小。